今回の問題は、2021年算数オリンピック予選問題です。
はっきり言ってこれは超難問です！
以下の解説では、三角形ＡＢＣのことを△ＡＢＣと記すことにします。
なお，前回と同様にスマートフォン，タブレット等で図形が縦長に表示される方は，お手数をおかけしますが画面を縦横回転してご覧ください。
【解説】
まずは、図１のように角度を書き込んでみましょう。
条件より、角ＡＤＥ＝角ＡＥＤ＝角ＡＢＣ＝角ＡＣＢ＝45度です。
ＡとＭを結ぶと、△ＡＢＭと△ＡＣＭは合同な直角二等辺三角形で、角ＡＭＢと角ＡＭＣは直角、角ＡＢＭ＝角ＢＡＭ＝角ＡＣＭ＝角ＣＡＭ＝45度、ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭです。
また、ＡＭを延長して、辺ＤＥとの交点をＨとすると、△ＡＤＨと△ＡＥＨも合同な直角二等辺三角形です。
角度を書いていってわかることはここまでです。
角度の応用問題にありがちな、正三角形は見つからなかったので、何か別の図形を見つけ出す必要があります。
図の両はしにはそれぞれ、45＋9＝54度があります。
54×2＝108度...これは「とある有名な図形」の内角ですね。
そこで、図２－１のようにＡＨで図形を真っ二つに切り、図２－２のようにはり合わせてみます。
(右半分の図形を、Ａを中心にして90度回転させたイメージです)
移動後の点Ｃ・Ｅはそれぞれ点Ｂ・Ｄと重なります。また、移動後の点Ｇ・Ｈ・ＭをそれぞれＧ'・Ｈ'・Ｍ'とします。
図３のように、ＭとＭ'を結んでみます。
長さと角度の関係より、四角形Ｍ'ＢＭＡは正方形ですから、対角線の長さは等しく、ＡＢ＝ＭＭ'です。
五角形ＤＦＭＭ'Ｇ'は、すべての辺の長さが等しく、角Ｇ'ＤＦ＝108度、角ＤＦＭ＝角ＤＧ'Ｍ'、角Ｇ'Ｍ'Ｍ＝角ＦＭＭ'ですから、正五角形であることがわかります！
正五角形の内角はすべて108度ですから、角ＦＭＭ'も108度です。
ここまでくれば、あとはかんたんですね。
角ＦＭＨ＝180－(108＋45)＝27度ですから、答えは27×2＝54度です。
【解答】
54度
算数オリンピックは、実は土佐塾の教員が作成した問題もあります。
(今回の問題は違いますよ)
いずれ、その問題も紹介するかもしれません。