高知県内の中学入試はもう少し先ですが、高知県外の中学入試はもうすぐはじまりますね。
(岡山中B方式や海陽中特別給費生など、既に合格発表のあった学校もあります)
算数の入試では、西暦(今年度入試なら2024)にまつわる問題が出題されることもあります。
今回は、YT教室が入試対策問題として作成した「2024年問題」のうちの１つを紹介したいと思います。
ただし、今回はかなり難しめだと思います。高知県外の難関校を受けない人は無理に解かなくてもよいでしょう。
【問題】
「2024」という整数は、となりあう位の数の差がどの場所でも2になっています。このように、となりあう位の数の差がどの場所でも2になっている整数について考えます。次の問いに答えなさい。
(１) このような整数を小さい方から並べると「13，20，24，31，...」となり、31は小さい方から4番目の整数です。では、2024は小さい方から何番目の整数ですか。
(２) このような整数のうち、6けたのものは何個ありますか。
【解説】
(１)
まずは書き出してみましょう。
・1けた
1つもありません。
・2けた
13
20,24
31,35
42,46
53,57
64,68
75,79
86
97
以上の15個。
・3けた
131,135
202,242,246
313,353,357
420,424,464,468
531,535,575,579
642,646,686
753,757,797
864,868
975,979
以上の26個。
・4けた(2024以下)
1313,1353,1357
2020,2024
4けたの整数で小さい方から5番目が2024です。
よって、15＋26＋5＝46番目...(１)の答
(２)
これ以上数が大きくなると、書き出すのは大変そうですね。
でも(１)の書き出しにより、いくつかの法則が見つかったはずです。
・「各位が奇数のみからなる」か「各位が偶数のみからなる」のいずれか。
・一つ右にくる数を考えると、以下のようになる。...(★)
0の次は2のみ。
1の次は3のみ。
2の次は0か4。
3の次は1か5。
4の次は2か6。
5の次は3か7。
6の次は4か8。
7の次は5か9。
8の次は6のみ。
9の次は7のみ。
このことから、奇数のみを使うのか偶数のみを使うのかで場合分けして、右端(一の位)にくる数について整理してみましょう。
(1)の2けたの数え上げを、右端にくる数について並べ直すと次のようになります。
31
13,53
35,75
57,97
79
20
42
24,64
46,86
68
これを表にまとめると、以下のようになります。
3けたの整数は、2けたの整数の右にひとつ数を付け加えて作ります。
★のことに注意すると、
1は、「2けたの整数の右端」が3のときだけ付け加えることができる。
3は、「2けたの整数の右端」が1か5のとき付け加えることができる。
5は、「2けたの整数の右端」が3か7のとき付け加えることができる。
7は、「2けたの整数の右端」が5か9のとき付け加えることができる。
9は、「2けたの整数の右端」が7のときだけ付け加えることができる。
0は、「2けたの整数の右端」が2のときだけ付け加えることができる。
2は、「2けたの整数の右端」が0か4のとき付け加えることができる。
4は、「2けたの整数の右端」が2か6のとき付け加えることができる。
6は、「2けたの整数の右端」が4か8のとき付け加えることができる。
8は、「2けたの整数の右端」が6のときだけ付け加えることができる。
これを表にまとめると、以下のようになります。
4けたの整数は、3けたの整数の右にひとつ数を付け加えて作ります。
3けたの整数の作り方と同様に考えると、以下のようになります。
5けた、6けたも同様に考えれば、以下のような表が完成します。
よって、6けたの整数は
9×4＋13＋14＋18×4＝135個...(２)の答