この問題は、2021年ラ・サール中入試問題をもとにして作成したものです。
まずは、もとの整数で区切って、次のように並べ直します。
縦長の長方形の面積を求めるような感覚で、数字の個数を求めていきましょう。
(１)
・1けたの偶数
2,4,6,8の4個あります。
・2けたの偶数
2けたで最大の偶数98は98÷2＝49番目の偶数ですから、2けたの偶数は49－4＝45列あるので、数字は2×45＝90個並びます。
・3けたの偶数
3けたで最大の偶数998は998÷2＝499番目の偶数ですから、3けたの偶数は499－49＝450列あるので、数字は3×450＝1350個並びます。
・1000～2022の偶数
2022は2022÷2＝1011番目の偶数ですから、2022までの4けたの偶数は1011－499＝512列あるので、数字は4×512＝2048個並びます。
ただし、「0」の位置を考えるので、最後の「22」は取り除いて、2048－2＝2046個です。
よって、最後の「2022」の並びの中にある「0」は、4＋90＋1350＋2046＝3490番目...(１)の答
(２)
2つの整数にまたがって存在する「2022」の並びを考えます。
2けたの整数では、例にあるように20｜22と区切られる場所にしかありませんから、3けたの整数の場合を考えましょう。
・2｜022と区切られるとき
先頭の位の数字が0なので不可ですね。
・20｜22と区切られるとき
連続する3けたの偶数が □20｜22△ になるときですから 220｜222 があります。...★
・202｜2と区切られるとき
連続する3けたの偶数が 202｜2□△ になるときですから 202｜204 があります。...◆
このことから、◆が2回目の並び、★が3回目の並びです。(3けたの整数ではこれ以外にありません)
よって、3けたの整数220の1の位にある「0」が何番目かを考えればいいですね。
220は220÷2＝110番目の偶数ですから、220までの3けたの偶数は110－49＝61列あるので、数字は3×61＝183個並びます。
したがって、4＋90＋183＝277番目...(２)の答
2022年問題、いかがでしたか？
受験生のみなさんに吉報が届きますように！